Question

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）上单调递增，若对任意x，y∈（0，+∞）都有：f（xy）=f（x）+f（y）成立，数列{a_n}满足：a₁=f（1）+1，f（）+f（+）=0．设S_n=+++…++．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并求S_n关于n的表达式；
（2）设函数g（x）对任意x、y都有：g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，若g（1）=1，正项数列{b_n}满足：=g（），T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较4S_n与T_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）当x，y∈（0，+∞）时，有f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1得f（1）=2f（1），得f（1）=0，所以a₁=f（1）+1=1．因为f（）+f（+）=0，所以f（-）=0=f（1）．由此能够求出数列{a_n}的通项公式，和S_n关于n的表达式．
（2）由于任意x，y∈R，都有g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，则g（2x）=2g（x）+2x²，故g（）=，即=．
由b_n＞0，知b_n=，T_n=++…+=1-，又4S_n=1-．由此能够得到当n=1，2，3，4时，4S_n＞T_n；当n≥5时，4S_n＜T_n．
解答：解：（1）当x，y∈（0，+∞）时，有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1得f（1）=2f（1），得f（1）=0，
所以a₁=f（1）+1=1（1分）
因为f（）+f（+）=0，
所以f（-）=0=f（1）．
又因为y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
所以-=1，
即，（3分）
所以数列{}是以1为首项，4为公差的等差数列，
所以=4n-3，所以a_n=．
∵==[-]，
∴S_n=[-+-+…+-]=[1-]．（5分）
（2）由于任意x，y∈R都有g（x+y）=g（x）+g（y）+2xy，
则g（2x）=2g（x）+2x²，
∴g（1）=2g（）+2•（）²
=2[2g（）+2•（）²]+
=2²g（）++
=2²[2g（）+2•（）²]++=2³g（）+++
=…=2ⁿg（）++++…++=1，
∴g（）=，即=．
又b_n＞0，∴b_n=，（9分）
∴T_n=++…+==1-，又4S_n=1-．
当n=1，2，3，4时，4n+1＞2ⁿ，
∴4S_n＞T_n；（10分）
当n≥5时，2ⁿ=＞1+2n+2×=1+n²+n．
而n²+n+1-（4n+1）=n²-3n=n（n-3）＞0，故4S_n＜T_n．（13分）
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．