Question

设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，能求出f（0）．
（2）由y=f（x）的定义域为R，f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，令y=-x，能推导出f（x）是奇函数．
（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．

解答：解：（1）∵函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．
∴f（0）=0．…3分．
（2）∵y=f（x）的定义域为R，
f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，
∴y=-x，得f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（x）是奇函数．…6分
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y），f(

1

3

)=1，且当x＞0时，f（x）＞0．
f（x₁）=f（x₂）+f（x₁-x₂），令x₁＞x₂，则f（x₁）＞f（x₂），所以函数单调递增，
∵f（x）+f（2+x）＜2，
∴f(x+2+x)＜f(

2

3

)∴2x+2＜

2

3

∴x＜-

2

3

，
∴x取值范围是（-∞，-

2

3

）．…12分

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与单调性，考查解不等式，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．