Question

【题目】在直角坐标系中，曲线与直线交于两点，

（Ⅰ）当时，求在点和处的切线方程；

（Ⅱ）若轴上存在点，当变动时，总有,试求出坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）过的切线斜率为切线方程为：，与联立方程得，, 由得,同理求N点处的切线方程；（Ⅱ）当时，，联立直线和抛物线再结合韦达定理代入上式，可得到结果.

（Ⅰ）当时，联立方程得或，

不妨取和，设过的切线斜率为，

则其切线方程为：，与联立方程得，，

由得，

分所以曲线在的切线方程为：，

同理，曲线在的切线方程为：.

综上在点和处的切线方程分别为和，

（Ⅱ）联立方程，消去整理得，

设，斜率分别为，则由根与系数关系得，

由题意，当时，

，

将代入整理得恒成立，所以．

所以轴上存在点，当变动时，总有.