Question

在一个很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为2.5 km/h．同时岸上有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4 km/h，在水中游的速度为2 km/h．问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

Answer 1

答案：
解析：

思路与技巧：由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上，所以本题应讨论的问题不是同一直线上的追及问题．只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船．我们可以假设船速为v(未知)，人在岸上跑的速度和水中游的速度仍为题目所给定的常数．因人在岸上跑所用的时间与人在水中游所用的时间之和等于船在水中行驶所用的时间，所以当v≥4 km/h时，人是不可能追上小船的．当0≤v≤2 km/h时，人不必在岸上跑，而立即从同一地点直接下水就可追上小船．因此只有先设法求出它们三者能构成三角形的最大速度vmax，再与现有船速进行比较，即可判断人能否追上小船． 　　 　　 　　评析：在上述解题过程中，我们首先是建立了几何模型，即△OAB；其次是通过几何模型的边角关系建立了方程模型，即方程①；最后是根据方程①有解的条件建立了不等式模型．并通过解不等式解答了本问题．以上解题步骤次序明显，环环相扣． 　　解斜三角形在实际中的应用是很广泛的，如测量、航海、机械设计、几何、物理等方面都要运用到解三角形．在求解此类问题时，先将这些实际问题转化为解三角形问题，画出示意图，有助于将抽象问题具体化、形象化，通常总是将实际问题中的长度、角度看作三角形的边和角，从而构建三角形，创造应用解三角形知识的背景，进而运用有关知识去解决问题，解这类问题时还要注意近似计算的要求．