Question

如图，在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AC⊥平面BCD，∠ADC=45°,E是线段AD的中点，F是线段AC上的一个动点．

(1)确定点F的位置，使平面ABD⊥平面BEF；

(2)当平面ABD⊥平面BEF时，求直线DB与EF所成的角．

Answer 1

解法一：(1)由已知可得AB=AD=BD=．又AE=ED，则BE⊥AD．

       由平面ABD⊥平面BEF得AD⊥平面BEF，

故AD⊥EF，即F应为过点E的AD的垂线和AC的交点．

       由AC=CD知点F即为点C．

       (2)由(1)知EF和BD所成的角即为EC与BD所成的角，

延长AC至G，使得CG=AC，连DG，则∠BDG即为CE与BD所成的角，

在△BDG中，BD=DG=BG，所以∠BDG=60°，即直线EF与直线BD所成的角为60°．

       解法二：如图建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，

       B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，E(0，，)

       设F(0，0，)，则=(0，一，，一)，

       又=(－1，，)．

       设n=(，，)是平面BEF的一个法向量，

       则，即

       令=1，则n=(2，4一1，1)．

又m=(1，1，1)是平面ABD的一个法向量，要使平面ABD⊥平面BEF．

当且仅当m⊥n，即m?n=0，解得=0．

∴F(0，0，0)，即为点C．

(2)，．

∴<>=．

∴直线EF与直线BD所成的角为60°．