Question

设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,则a²=b(b+c)是A=2B的(    )

A.充要条件                                         B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件                            D.既不充分又不必要条件

Answer 1

答案:A

解析:由a²=b(b+c),得a²-b²=bc.

由余弦定理,c²-2cbcosA=bc,

∴c-2bcosA=b.

由正弦定理,

sinC-2sinBcosA=sinB,

sin(A+B)-2sinBcosA=sinB,

sinAcosB+cosAsinB-2sinBcosA=sinB,

∴sin(A-B)=sinB.

∴A-B=B或A-B=π-B(舍).

∴A=2B.

同理逆推,由A=2Ba²=b(b+c),

∴A=2B是a²=b(b+c)的充要条件.