Question

19．在平面直角坐标系xOy中，向量$\overrightarrow{OA}$=（0，3），向量$\overrightarrow{OB}$=（4，3），若已知向量$\overrightarrow{OC}$=λ$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$+$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$（λ∈R，λ＞0），则|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{5}$，则C点的坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{\sqrt{109}}{5}$）．

Answer 1

分析 先根据向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐标，求出$|\overrightarrow{OA}|=3，|\overrightarrow{OB}|=5$，从而得到$\overrightarrow{OC}=（\frac{4}{5}，λ+\frac{3}{5}）$，根据向量长度$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5}$，即可得到$5=（\frac{4}{5}）^{2}+（λ+\frac{3}{5}）^{2}$，解该方程，并取λ＞0解，这样即可得出$\overrightarrow{OC}$的坐标，从而得出点C的坐标．

解答 解：根据条件，$|\overrightarrow{OA}|=3，|\overrightarrow{OB}|=5$；
∴$\overrightarrow{OC}=\frac{λ}{3}•（0，3）+\frac{1}{5}•（4，3）=（\frac{4}{5}，λ+\frac{3}{5}）$；
又$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5}$；
∴${\overrightarrow{OC}}^{2}=\frac{16}{25}+{λ}^{2}+\frac{6}{5}λ+\frac{9}{25}=5$；
解得$λ=\frac{-3±\sqrt{109}}{5}$；
∵λ＞0；
∴$λ=\frac{-3+\sqrt{109}}{5}$；
∴$\overrightarrow{OC}=（\frac{4}{5}，\frac{\sqrt{109}}{5}）$；
∴C点的坐标为（$\frac{4}{5}，\frac{\sqrt{109}}{5}$）．
故答案为：（$\frac{4}{5}$，$\frac{\sqrt{109}}{5}$）．

点评 考查根据向量的坐标求向量的长度，向量坐标的数乘即加法运算，数量积的坐标运算，以及解一元二次方程，清楚向量坐标和对应点的坐标的关系．