Question

（2012•虹口区二模）已知：曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）如果直线y=k（x-1）交曲线C于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆经过原点O？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，可知曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线，从而可求曲线C的方程；
（2）将y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，利用韦达定理，可得x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，从而可知以AB为直径的圆不经过原点O．

解答：解：（1）∵曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等．
∴曲线C的轨迹是以F（1，0）为焦点的抛物线
∴曲线C的方程为y²=4x；…（4分）
（2）将y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0…（8分）
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁x₂=1，x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，…（10分）
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=-4 …（12分）
∴x₁x₂+y₁y₂=-3≠0
∴

OA

•

OB

≠0
∴以AB为直径的圆不经过原点O，
∴不存在满足条件的k．…（14分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查向量知识的运用，解题的关键是正确运用抛物线的定义，正确运用韦达定理．