Question

已知函数f（x）=x²+2alnx．
（I）若函数f（x）的图象在（2f（2））处的切线斜率为l，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），由f'（2）=1，能求出a．
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当a＜0时．列表讨论，能求出函数f（x）的单调递区间．
解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2alnx，
∴，
由已知f'（2）=1，解得a=-3．
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
（2）当a＜0时．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x
f'（x）	-		+
f（x）		极小值

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；
单调递增区间是．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行分类讨论思想和等价转化思想进行解题．