Question

设S_n是等差数列{a_n}前n项的和．已知

1

3

S3与

1

4

S4的等比中项为

1

5

S5，

1

3

S3与

1

4

S4的等差中项为1．求等差数列{a_n}的通项a_n．

Answer 1

分析：利用等差数列的前n项和公式代入已知条件，建立d与a₁的方程，联立可求得数列的首项a₁、公差d，再由等差数列的通项公式可求得a_n

解答：解：设等差数列{a_n}的首项a₁=a，公差为d，则通项为
a_n=a+（n-1）d，
前n项和为Sn=na+

n(n-1)

2

d，
依题意有

1 3 S3• 1 4 S4=( 1 5 S5)2 1 3 S3+ 1 4 S4=2

其中S₅≠0．
由此可得

1 3 (3a+ 3×2 2 d)× 1 4 (4a+ 4×3 2 d)= 1 25 (5a+ 5×4 2 d)2 1 3 (3a+ 3×2 2 d)+ 1 4 (4a+ 4×3 2 d)=2

整理得

3ad+5d2=0 2a+ 5 2 d=2

解方程组得

d=0 a=1

d=- 12 5 a=4

由此得a_n=1；或a_n=4-

12

5

（n-1）=

32

5

-

12

5

n．
经验证知时a_n=1，S₅=5，或an=

32

5

-

12

5

n时，S₅=-4，均适合题意．
故所求等差数列的通项为a_n=1，或an=

32

5

-

12

5

n．

点评：本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．由等差数列的前n项和确定基本量 d与a₁
之间的关系，关键在于熟练应用公式．