Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁．
（1）试求

AD

DC1

的值；
（2）求点C₁到平面AFC的距离．

Answer 1

分析：（1）证明Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，利用D为AC₁的中点，可得结论；
（2）运用等体积法求解，即V_F-ACC1=V_C1-ACF，由此可得到结论．

解答：解：（1）连AF，FC₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱且各棱长都等于2，F为BB₁中点，
∴Rt△ABF≌Rt△C₁B₁F，∴AF=FC₁．
又在△AFC₁中，FD⊥AC₁，所以D为AC₁的中点，即

AD

DC1

=1．
（2）由题意易得AC=2，AF=CF=

5

，∴S_△ACF=2，
V_F-ACC1=V_E-ACC1=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

2 3

3

，
记点C₁到平面AFC的距离为h，则V_F-ACC1=V_C1-ACF=

1

3

S_△ACF×h，∴h=

3

．
故点C₁到平面AFC的距离为

3

．

点评：本题考查三棱锥体积的计算，考查点到面的距离的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．