Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数成公差为d_n的等差数列（如在a₁与a₂之间插入1个数构成第1个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第2个等差数列，其公差为d₂，…，以此类推），设第n个等差数列的和是A_n，Tn=

d1

A1

+

d2

A2

+…+

dn

An

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）a_n+1=2S_n+2可得a_n=2S_n-1+2（n≥2），两式相减可得a_n+1-a_n=2a_n然后由等比数列的定义可得；
（2）由公差的定义可得A_n，进而可得

dn

An

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，下面用裂项相消法求解即可．

解答：解：（1）∵a_n+1=2S_n+2
∴a_n=2S_n-1+2（n≥2）…（1分）
两式相减可得a_n+1-a_n=2a_n…（2分）
∴

an+1

an

=3…（3分）
在a_n+1=2S_n+2中令n=1，得a₁=2…（5分）
由等比数列的通项公式可得：an=2•3n-1…（6分）
（2）证明：dn=

2×3n-2×3n-1

n+1

=

4×3n-1

n+1

…（7分）
A_n=

(2×3n+2×3n-1)(n+2)

2

=4(n+2)×3n-1…（8分）
∴

dn

An

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

…（10分）
∴Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)…（11分）
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

…（12分）

点评：本题为数列的通项公式和求和的综合题目，涉及等比数列的定义和裂项相消法求和，属中档题．