Question

将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

记表中的第一列数a₁，a₂,，a₄，a₇，…构成的数列为，b₁=a₁=1．为数列的

前n项和, 且满足.

（I）证明数列成等差数列, 并求数列的通项公式；

（II）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同个正数，当时，求上表中第行所有项的和。

Answer 1

(Ⅰ)证明：由已知，当时，

所以数列是首项为1，公差为的等差数列.

由上可知    .

即  

所以     当

因此

(Ⅱ)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0.

因为   1+2+…+12＝＝78，

所以表中第1行至第12行共含有数列{a_n}的前78项，

故    a₈₁在表中第13行第三列，

因此     a₈₁=b₁₃?q²=

又     

所以    q=2.

记表中第≥3)行所有项的和为S，

则

.