Question

如图四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ADC为直角，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF＝2FB

(1)求证：FG∥平面PAB；

(2)求证：FG⊥AC；

(3)当二面角P－CD－A多大时，FG⊥平面AEC．

Answer 1

答案：
解析：

⑴证明：连接CG并延长交PA于H，连接BH 　　∵G为△PAC的重心，∴M为PA的中点且 　　CG∶GH＝2∶1，又CF∶FB＝2∶1， 　　∴CG∶GH＝CF：FB＝2∶1，∴FG∥BH， 　　易得FG∥平面PAB－－4分 　　⑵∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC， 　　∵AB⊥AC，∴AC⊥平面PAB， 　　BH平面PAB，∴AC⊥BH， 　　∴FG⊥AC－－7分 　　⑶∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥AD， 　　∴PD⊥CD 　　∴∠PDA为二面角P－CD－A的平面角． 　　若FG⊥平面AEC，则BH⊥平面AEC， 　　∴BH⊥AE－－9分 　　设BH交AE于O，PA＝a，∵AB＝2，PA⊥AB，∴ 　　∵E、H分别是PB、PA的中点，∴O为△PAB的重心．－－11分 　　∴ 　　∵AO2＋BO2＝AB2，∴∴．－－13分 　　∵AB＝AC＝2，AB⊥AC，∴∠CAD＝∠ACB＝450，∴， 　　∴， 　　∴二面角P－CD－A的大小为arctan2时，FG⊥平面AEC－－14分