Question

已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

Answer 1

是解(1) ∵a²=2,b²=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.
∵圆过点O、F.
∴圆心M在直线x=-

设M(-),则圆半径

r=|(-)-(-2)|=.
由|OM|=r,得
解得t=±,
∴所求圆的方程为(x+)2+(y±) 2=.
(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),
代入+y²=1,整理得(1+2k²)x²+4k²x+2k²-2=0.
∵直线AB过椭圆的左焦点F,
∴方程有两个不等实根.
记A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中点N(x₀,y₀),
则x₁+x₂=-

x₀=

  AB垂直平分线NG的方程为

令y=0，得

∵

∴点G横坐标的取值范围为（）