Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱AB，CC₁，D₁A₁，BB₁的中点；
（1）证明：FH∥平面A₁EG；
（2）求三棱锥A₁-EFG的体积．

Answer 1

分析：（1）通过证明FH∥A₁G．利用A₁G?平面A₁GE，FH?平面A₁GE，推出FH∥平面A₁GE
（2）连接HA₁，HE，HG，利用VH-A1EG=VF-A1EG，求出S△A1EH与A₁G，即可得到所求几何体的体积．

解答：解：（1）证明：∵FH∥B₁C₁，B₁C₁∥A₁G，∴FH∥A₁G．
又A₁G?平面A₁GE，FH?平面A₁GE，
∴FH∥平面A₁GE
（2）解：连接HA₁，HE，HG，由（1）得FH∥平面A₁GE，
∴VH-A1EG=VF-A1EG
又S△A1EH=SABB1A1- S△A1AE-S△A1B1H- S△EBH=1×1-

1

4

-

1

4

-

1

8

=

3

8

，
∵A₁G=

1

2

．
∴VA1-EFG=VH-A1EG=VF-A1EG=VG-A1EH=

1

3

S△ A1EH ×A1G=

1

3

×

3

8

×

1

2

=

1

16

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力、转化思想．