Question

已知关于x的不等式

1

a

x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=

1

2(ab-1)

+

a(b+2c)

ab-1

的最小值为（　　）

• A．

  3

• B．2
• C．2

  3

• D．4

Answer 1

分析：由题意得：

1

a

＞0，b2-

4c

a

≤0，得c≥

ab2

4

．利用此式进行代换，将T化成T≥

1+2ab+a2b2

2(ab-1)

，令ab-1=m，则m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．

解答：解：由题意得：

1

a

＞0，b2-

4c

a

≤0，
得c≥

ab2

4

．
∴T=

1

2(ab-1)

+

a(b+2c)

ab-1

≥

1+2ab+a2b2

2(ab-1)

，
令ab-1=m，则m＞0，
所以T≥

1+2(m+1)+(m+1)2

2m

=

m

2

+

2

m

+2≥4．
则T=

1

2(ab-1)

+

a(b+2c)

ab-1

的最小值为4．
故选D．

点评：本小题主要考查基本不等式、一元二次不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．