Question

已知关于x的不等式1＋2^x＋(a－a²)4^x＜0在[0，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围(提示：a²－a－2＞0a＜－1，或a＞2)．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：将不等式中的未知数x与参数a分别移到不等式的两边，即将原不等式转化为g(a)＜f(x)的形式，再利用g(a)＜f(x)_min求解．

　　解：由于4^x＞0，故可将原不等式转化为

　　a－a²＜－－＝－－，

　　则该不等式在[0，＋∞)上恒成立．

　　设y＝f(x)＝－－，

　　令u(x)＝＞0，y＝－u²－u＝－＋，

　　因为0＜＜1，且－＜0，

　　所以u(x)在R上为减函数，y＝－u²－u在(0，＋∞)上为减函数，

　　所以函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，

　　所以f(0)≤f(x)，即－2≤f(x)，

　　所以a－a²＜－2，即a²－a－2＞0，解得a＜－1，或a＞2．

　　所以，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

　　点评：利用指、对数函数的单调性求解不等式的恒成立问题，主要有两种方法：(1)分离参数法，即将不等式中的参数分离出来，使不等式的一端化为只含参数的解析式，而另一端化为含未知数的解析式，再利用单调性解答，整个过程体现函数思想；(2)利用指、对数函数的单调性将不等式转化为一般的代数不等式，再结合其他方法，如判别式法、图象法等来求解．