Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C。
（1）试判断A₁A与平面A₁BC是否垂直，并说明理由；
（2）求侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值。

Answer 1

解：如图建立空间直角坐标系， （1）有条件知B（0，0，0），C（0，2，0），A（2，0，0）， 由面ACC1A1⊥面ABC，AA1⊥A1C，AA1=A1C，知， ∵ ∴与不垂直，即AA1与BC不垂直， ∴AA1与平面A1BC不垂直； （2）由ACC1A1为平行四边形， 知， 设平面BB1C1C的法向量， 由得，即， 令，则y1=0，z1=，得， 另外，平面ABC的法向量=（0，0，1） 所以侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为。