题目内容

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线AC₁长为 $数学公式$ ，且在共顶点的三个侧面内的射影的长度分别为 $数学公式$ 、a、b，则a+b的最大值为________．

4
分析：设长方体的三边长分别为x、y、z，由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，不妨设 $\text{[math]}$ ，则z=1，可得a、b的值，及 x²+y²=6，根据a+b≤ $\text{[math]}$ ，
从而求出a+b的最大值．
解答：设长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三边长分别为x、y、z，由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
不妨设 $\text{[math]}$ ，则z=1，故有a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，x²+y²=6．
由于 a+b≤ $\text{[math]}$ ，∴a+b≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4，
当且仅当a=b=2 （即x=y= $\text{[math]}$ ）时，等号成立．
故答案为：4．
点评：本题主要考查长方体的对角线的性质，以及重要不等式 a+b≤ $\text{[math]}$ 的应用，属于中档题．

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（1）求证：A₁E⊥平面ADE；
（2）求三棱锥A₁-ADE的体积．