Question

设函数f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0）．若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）因f（x）=x²+ax²-9x-1
所以f'（x）=3x²+2ax-9=3(x+

a

3

)2-9-

a2

3

.
即当x=-

a

3

时，f'（x）取得最小值-9-

a2

3

．
因斜率最小的切线与12x+y=6平行，即该切线的斜率为-12，
所以-9-

a2

3

=-12，即a2=9.
解得a=±3，由题设a＜0，所以a=-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-3，因此f（x）=x³-3x²-9x-1，f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3（x+1）
令f'（x）=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上为增函数；
当x∈（-1，3）时，f'（x）＜0，故f（x）在（-1，3）上为减函数；
当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上为增函数．
由此可见，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（3，+∞）；
单调递减区间为（-1，3）．