Question

在(

x

2

-

1

3 x

)8的展开式中
（1）求展开式的第四项；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式的各项系数的和．

Answer 1

分析：（1）先求出展开式的通项Tr+1=

C

r 8

(

x

2

)8-r(-

1

3 x

)r，令r=3，进而可求展开式的第四项；
（2）令展开式中x的指数为0，即8-r-

r

3

=0，可得r=6，从而利用通项公式求出常数项；
（3）令f(x)=(

x

2

-

1

3 x

)8，令x=1，即可得展开式的各项系数的和．

解答：解：（1）∵通项Tr+1=

C

r 8

(

x

2

)8-r(-

1

3 x

)r，
令r=3，
∴T4=

C

3 8

(

x

2

)5(-

1

3 x

)3=-

7

4

x4（2分）
（2）Tr+1=

C

r 8

(

x

2

)8-r(-

1

3 x

)r=

C

r 8

(

1

2

)8-r×(-1)r×x8-r-

r

3

令8-r-

r

3

=0，得r=6，
∴常数项为T7=

C

6 8

(

1

2

)2(-1)6=7（2分）
（3）令f(x)=(

x

2

-

1

3 x

)8，
则展开式的各项系数的和为f(1)=(-

1

2

)8=

1

256

（2分）

点评：本题以二项式为载体，考查通项公式的运用，考查特殊项与指定项，考查展开式的各项系数的和，其中正确得出展开式的通项是解题的关键．