题目内容
圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知点
、
是圆锥曲线C
上不与顶点重合的任意两点，
是垂直于
轴的一条垂轴弦，直线
分别交轴于点
和点
。
（1）试用
的代数式分别表示
和
；
（2）若C的方程为
（如图），求证：
是与和点
位置无关的定值；
（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其
结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。
、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点。（1）试用
的代数式分别表示和；（2）若C的方程为
（如图），求证：是与和点位置无关的定值；（3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究
和经过某种四则运算（加、减、乘、除），其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明。（1）
，
（2）证明略
（3）略
（1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以
则
……………2分
令
则……………. 4分
同理可得：，……………. 6分
（2）由（1）可知：
……………. 8分
在椭圆C：
上，
，
则
（定值）
是与和点位置无关的定值 ……12分
（3）第一层次：
①点是圆C：
上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于
轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则
。……………. 16分
证明如下：由（1）知：
在圆C：上，
，
则
是与和点位置无关的定值
②点是双曲线C：
上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则
。…………… 16分
证明如下：由（1）知：
在双曲线C：
上，
，
则
是与和点位置无关的定值
第二层次：
点是抛物线C：
上不与顶点重合的任意一点，是垂直于
轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则
。…………18分
证明如下：由（1）知：
，
在抛物线C：上，
则
是与和点位置无关的定值
是垂直于轴的一条垂轴弦，所以 则……………2分令
则……………. 4分同理可得：
，……………. 6分（2）由（1）可知：
……………. 8分在椭圆C：上，，则
（定值）是与和点位置无关的定值 ……12分（3）第一层次：
①点
是圆C：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。……………. 16分证明如下：由（1）知：
在圆C：上，，则
是与和点位置无关的定值②点
是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。…………… 16分证明如下：由（1）知：
在双曲线C：上，，则
是与和点位置无关的定值第二层次：
点
是抛物线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。…………18分 证明如下：由（1）知：
，在抛物线C：上，则
是与和点位置无关的定值
练习册系列答案
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是椭圆
的左焦点，直线
为对应的准线，直线
轴交于
点，
为椭圆的长轴，已知
，且
．
，恒有
；
的图像只可能是下图中（ *** ）
和双曲线
的公共点为
是两曲线的一个交点, 那么
的值是
表示曲线C.
分）已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线
的距离小1.
当△AOB的面积为
时（O为坐标原点），求
的值.
上任一点连线的中点轨迹方程是
和双曲线
的公共点为
是两曲线的一个交点, 那么
的值是___________