已知椭圆的左右两个焦点分别为F1.F2.点P在椭圆C上.且PF1⊥PF2.|PF1|=2.|PF2|=4．(1)求椭圆C的标准方程,(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心M交椭圆于A.B两点.且A.B关于点M对称.求直线l的方程,(3)若以椭圆的长轴为直径作圆N.T为该圆N上异于长轴端点的任意点.再过原点O作直线TF2 的垂线交椭圆的右准线交于点Q.试判� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知椭圆的左右两个焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=2，|PF₂|=4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l过圆x²+y²+4x-2y-4=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程；
（3）若以椭圆的长轴为直径作圆N，T为该圆N上异于长轴端点的任意点，再过原点O作直线TF₂ 的垂线交椭圆的右准线交于点Q，试判断直线TQ与圆N的位置关系，并给出证明．

分析（1）运用椭圆的定义可得2a=6，即a=3，再由勾股定理可得c，再由a，b，c的关系，可得b，即可得到椭圆方程；
（2）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），设出AB的方程，代入椭圆方程，由韦达定理和中点坐标公式，解方程可得k，进而得到直线AB的方程；
（3）直线TQ与圆N相切．求得椭圆的右焦点和右准线，运用斜率公式，垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到结论．

解答解：（1）设$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），因为点P在椭圆C上，
所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，
解得a=3，
在直角△PF₁F₂中，|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{2}{|}^{2}+|P{F}_{1}{|}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故椭圆的半焦距c=$\sqrt{5}$，
从而b²=a²-c²=9-5=4，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=9，所以圆心M的坐标为（-2，1），
从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得
（5+9k²）x²+18（2k²+k）x+36（k²+k-1）=0，
因为A，B关于点M对称．所以$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9（2{k}^{2}+k）}{5+9{k}^{2}}$=-2，
解得k=$\frac{10}{9}$，
所以直线l的方程为y=$\frac{10}{9}$（x+2）+1，
即10x-9y+29=0．（经检验，符合题意）．
（3）直线TQ与圆N相切．证明如下：易得椭圆右焦点为F₂（$\sqrt{5}$，0），右准线为x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$．
设点T（x₀，y₀），则有x₀²+y₀²=9，又${k}_{T{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\sqrt{5}}$，k_OQ=-$\frac{{x}_{0}-\sqrt{5}}{{y}_{0}}$，
∴直线OQ的方程为y=-$\frac{{x}_{0}-\sqrt{5}}{{y}_{0}}$x，令x=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，得y=-$\frac{9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{2}）}{5{y}_{0}}$，
即Q（$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{2}）}{5{y}_{0}}$），
所以k_TQ=$\frac{{y}_{0}+\frac{9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{5}）}{5{y}_{0}}}{{x}_{0}-\frac{9\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5{{y}_{0}}^{2}+9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{5}）}{{y}_{0}（5{x}_{0}-9\sqrt{5}）}$=$\frac{5（9-{{x}_{0}}^{2}）+9\sqrt{5}（{x}_{0}-\sqrt{5}）}{{y}_{0}（5{x}_{0}-9\sqrt{5}）}$=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
又k_OT=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，于是有k_OT•k_TQ=-1，
故OT⊥TQ，∴直线TQ与圆N相切．