Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4x-4数列{a_n}满足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，（n∈N⁺）
（1）证明数列{a_n-1}是等比数列；
（2）设b_n=7f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，是否存在自然数M使得S_n＜M＜f（x）-g（x）+对任意n∈N^*和任意实数x均成立，若存在求出满足条件的所有自然数M．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（x）、g（x）的解析式，将等式（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，化简整理得4a_n+1-3a_n-1=0，可得4（a_n+1-1）=3（a_n-1），从而得到数列{a_n-1}是首项a₁-1=1，公比q=的等比数列；
（2）由（1）求出a_n=+1，代入表达式求出b_n=-，再利用等比数列求和公式即可算出前n项和S_n=-16•（）²ⁿ+12•（）ⁿ+4；
（3）根据二次函数的图象与性质，并且采用换元法求出S_n=-16•（）²ⁿ+12•（）ⁿ+4的最大值为≈6.21，结合f（x）-g（x）+=x²-6x+当x=3时取得最小值为，可得不等式S_n＜M＜f（x）-g（x）+对任意n∈N^*和任意实数x均成立，即6.21≤M＜成立，解之得M=7．
解答：解：（1）∵f（x）=（x-1）²，g（x）=4x-4
∴（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，
即4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0，化简得（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0
∵a_n≠1，
∴4a_n+1-3a_n-1=0，可得4（a_n+1-1）=3（a_n-1），从而得到，
由此可得数列{a_n-1}是等比数列，它的首项a₁-1=1，公比q=；
（2）由（1），得a_n=+1
∴f（a_n）=，g（a_n+1）=4•，
可得b_n=7f（a_n）-g（a_n+1）=7•-4•=-，
数列{b_n}的前n项和S_n=-=-16•（）²ⁿ+12•（）ⁿ+4；
（3）令t=（）ⁿ，得
S_n=-16•（）²ⁿ+12•（）ⁿ+4=-16t²+12t+4=-16（t-）²+
∵n∈N^*，∴结合二次函数的图象与性质，得当n=3时t=时，S_n的最大值为≈6.21
又∵f（x）-g（x）+=x²-6x+，当x=3时取得最小值为
∴若存在自然数M，使得S_n＜M＜f（x）-g（x）+对任意n∈N^*和任意实数x均成立，
则6.21≤M＜成立，解之得M=7
即存在自然数M=7，使得S_n＜M＜f（x）-g（x）+对任意n∈N^*和任意实数x均成立．
点评：本题给出两个函数的表达式，求证数列{a_n-1}是等比数列，并依此解决一个不等式恒成立的问题．着重考查了二次函数的图象与性质、等比数列的通项与求和公式和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．