Question

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer 1

(1)设G为AD的中点，连结PG，

∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.

又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.

∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.

(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.

取PC的中点F，连结DE、EF、DF，在△PBC中，EF∥PB.

在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，

∴平面DEF∥平面PGB，

由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，

∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.