题目内容

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）设 $数学公式$ ，试求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，
所以（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，…（3分）
即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA．
而sinA＞0，
所以cosB= $\text{[math]}$ …（6分）
故B=60°…（7分）
（2）因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ =3sinA+cos2A…（8分）
=3sinA+1-2sin²A=-2（sinA- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ …（10分）
由 $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$ ，
所以30°＜A＜90°，
从而 $\text{[math]}$ …（12分）
故 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，所以（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，由sinA＞0，所以cosB= $\text{[math]}$ ．由此能求出B的大小．
（2）因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =3sinA+cos2A=-2（sinA- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，得
30°＜A＜90°，从而 $\text{[math]}$ ，由此能求出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题考查正弦函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的合理运用．