题目内容

在有穷数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，若把
S1+S2+S3+…+Sn
n
称为数列{an}的“优化和”，现有一个共2009项的数列
{an}：a1，a2，a3，…，a2009，若其“优化和”为2010，则有2010项的数列1，a1，a2，a3，…，a2009的“优化和”为（　　）
分析：首先根据定义得出S1+S2+S3+…+S2009=2009×2010，然后根据S1=a1，S2=a1+a2，…S2009=a1+a2+a3+…a2009，把要求的和转化为前一个和，即可求出结果．
解答：解：∵
S1+S2+S3+…+S2009
2009
=2010∴S1+S2+S3+…+S2009=2009×2010，
其中S1=a1，S2=a1+a2，…S2009=a1+a2+a3+…a2009．
∴所求的优化和=[1+（1+a1）+（1+a1+a2）+…+（1+a1+…+a2008）+（1+a1+…+a2009）]÷2010
=[1+（ 1+S1）+（1+S2）+…+（1+S2008）+（1+S2009）]÷2010
=[2010×1+（S1+S2+…+S2009）]÷2010
=[2010+2009×2010]÷2010
=1+2009=2010
故选C．
点评：本题考差了数列的求和，解题的关键是正确理解新定义，得出
S1+S2+S3+…+S2009
2009
=2010是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知有穷数列A：a1，a2，…，an（n≥2，n∈N）．定义如下操作过程T：从A中任取两项ai，aj，将
ai+aj
1+aiaj
的值添在A的最后，然后删除ai，aj，这样得到一系列n-1项的新数列A1 （约定：一个数也视作数列）；对A1的所有可能结果重复操作过程T又得到一系列n-2项的新数列A2，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak．设A：-
5
7
，
3
4
，
1
2
，
1
3
，则A3的可能结果是（　　）
A、0
B、
3
4
C、
1
3
D、
1
2
已知有穷数列A：a1，a2，…，an，（n≥2）．若数列A中各项都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，则称该数列为数列．对于数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项ai，aj，将
ai+aj
1+aiaj
的值添在A的最后，然后删除ai，aj，这样得到一个n-1项的新数列A1（约定：一个数也视作数列）．若A1还是数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作A2，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作Ak．
（Ⅰ）设A：0，
1
2
，
1
3
…请写出A1的所有可能的结果；
（Ⅱ）求证：对于一个n项的数列A操作T总可以进行n-1次；
（Ⅲ）设A：-
5
7
，-
1
6
，-
1
5
，-
1
4
，
5
6
，
1
2
，
1
3
，
1
4
，
1
5
，
1
6
…求A9的可能结果，并说明理由．
设m＞3，对于有穷数列{an}（n=1，2，3…，m），令bk为a1，a2…ak中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．数{bn}中不相等项的个数称为{an}的“创新阶数”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7，创新阶数为3．
考察自然数1，2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{cn}．
（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{cn}；
（Ⅱ） 是否存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{cn}，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{cn}中，求它们的首项的和．
设m＞3，对于有穷数列{an}（n=1，2，3…，m），令bk为a1，a2…ak中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．数{bn}中不相等项的个数称为{an}的“创新阶数”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7，创新阶数为3．
考察自然数1，2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{cn}．
（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{cn}；
（Ⅱ） 是否存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{cn}，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{cn}中，求它们的首项的和．

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