Question

函数f（x）=x⁴-4x³+ax²-1在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=bx²-1，若关于x的方程f（x）=g（x）的解集中含有3个元素，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出原函数的导函数，根据原函数在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，得导函数在两个区间内的符号，由导函数在两区间内的符号列式求解a的值；
（2）由方程f（x）=g（x）的解集中含有3个元素，得到得x²（x²-4x+4-b）=0有3个不相等的实根，转化为二次方程有两个不同的实根，然后由二次方程的判别式大于0求解b的范围．

解答：解：（1）∵f'（x）=4x³-12x²+2ax=2x（2x²-6x+a），
又 f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减．
∴在[0，1]上恒有f'（x）≥0，在[1，2]上恒有f'（x）≤0，
令g（x）=2x²-6x+a，
即在[0，1]上恒有g（x）≥0，在[1，2]上恒有g（x）≤0，
即

g(1)=a-4=0 g(2)=a-4≤0

，∴a=4．
（2）由f（x）=g（x）的解集中含有3个元素，得x²（x²-4x+4-b）=0有3个不相等的实根．
故x²-4x+4-b=0有两个不相等的非零实根，∴△=16-4（4-b）＞0，且4-b≠0．
解得：0＜b＜4，或b＞4，
∴b∈（0，4）∪（4，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性与导数的关系，考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了数学转化思想方法，是中档题．