Question

【题目】函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且满足xf′（x）+2f（x）＞0，则不等式 的解集为（ ）
A.{x＞﹣2011}
B.{x|x＜﹣2011}
C.{x|﹣2011＜x＜0}
D.{x|﹣2016＜x＜﹣2011}

Answer 1

【答案】D
【解析】解：构造函数g（x）=x2f（x），g′（x）=x（2f（x）+xf′（x））； 当x＞0时，
∵2f（x）+xf′（x）＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵不等式 ，
∴x+2016＞0时，即x＞﹣2016时，
∴（x+2016）2f（x+2016）＜52f（5），
∴g（x+2016）＜g（5），
∴x+2016＜5，
∴﹣2016＜x＜﹣2011，
故选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．