Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=4，y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点，求m的取值范围．（其中自然对数的底数e为无理数且e=2.271828…）

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域再求函数的导数，当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时单调递减．
（2）由a=4可根据（1）中所求确定函数的增减区间，求出函数的极小值和极大值即可得到答案．

解答：解：（I）函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx的定义域是（0，+∞）．f′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

2(x- a 2 )(x-1)

x

①当a≤0时，f'（x）≤0在（0，1]上恒成立，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴a≤0时，f（x）的增区间为[1，+∞），
f（x）的减区间为（0，1]
②当0＜a＜2时，f′(x)≥0在(0，

a

2

]∪[1，+∞)上恒成立，f′(x)≤0在[

a

2

，1]上恒成立．
∴0＜a＜2时f(x)的增区间为(0，

a

2

]，[1，+∞)，f(x)的减区间为[

a

2

，1]．
③当a=2时，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a=2时，f（x）的增区间为（0，+∞）．
④当a＞2时，f′(x)≥0在(0，1]和[

a

2

，+∞)上恒成立，f′(x)≤0在[1，

a

2

]上恒成立，∴a＞2时，f(x)的增区间为(0，1]和[

a

2

，+∞)，f(x)的减区间为[1，

a

2

]．
（II）若a=4，由（I）可得f（x）在（0，1]上单调增，在[1，2]上单调减，在[2，+∞）上单调增．
∴f（x）_极小值=f（2）=4ln2-8，f（x）_极大值=f（1）=-5
∴y=f（x）的图象与直线y=m有三个交点时m的取值范围是（4ln2-8，-5）．

点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的单调区间的问题．