Question

如图，椭圆C方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），点A₁，A₂为椭圆C的左、右顶点．
（1）若椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与（1）中所述椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左、右顶点），且满足AA₂⊥BA₂，求证：直线l过定点，并求出该点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意知 

a-c=1 a+c=3

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由AA₂⊥BA₂，知（2-x₁）（2-x₂）+y₁y₂=0．联立方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，利用韦达定理和根的判别式能推导出7m²+16km+4k²=0，由此能够证明直线l恒过定点(

2

7

，0)．

解答：解：（1）由题意知 

a-c=1 a+c=3

，
a=2，c=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AA₂⊥BA₂，∴（2-x₁）（2-x₂）+y₁y₂=0…．①
联立方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

⇒(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，

x1+x2=- 8km 3+4k2 x1x2= 4m2-12 3+4k2 △=48(4k2-m2+3)

，代入①式整理，得7m²+16km+4k²=0，
所以（7m+2k）（m+2k）=0
当7m=-2k时，满足△＞0．此时，直线l：y=-

7

2

mx+m恒过点(

2

7

，0)
当m=-2k时，满足△＞0．此时，直线l：y=-

1

2

mx+m恒过点（2，0）不符合题意，舍．
所以，直线l恒过定点(

2

7

，0)．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、分类讨论思想的合理运用．