已知数列{an}的前n项和为Sn.向量$\overrightarrow{a}$=(Sn.1).$\overrightarrow{b}$=(2n-1.$\frac{1}{2}$).满足条件$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$.(1)求数列{an}的通项公式.=x.数列{bn}满足条件b1=1.f(bn+1)=$\frac{1}{{f}}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，向量$\overrightarrow{a}$=（S_n，1），$\overrightarrow{b}$=（2ⁿ-1，$\frac{1}{2}$），满足条件$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）设函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，数列{b_n}满足条件b₁=1，f（b_n+1）=$\frac{1}{{f（-{b_n}-1）}}$．
①求数列{b_n}的通项公式，
②设c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

分析（1）运用向量共线的坐标表示，可得S_n=2ⁿ⁺¹-2，再由当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，n=1时，a₁=S₁，即可得到所求通项公式；
（2）①运用指数的运算性质和等差数列的定义，即可得到所求通项公式；
②求得C_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（S_n，1），$\overrightarrow{b}$=（2ⁿ-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
可得$\frac{1}{2}$S_n=2ⁿ-1，即S_n=2ⁿ⁺¹-2，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
当n=1时，a₁=S₁=2，满足上式．
则有数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ，n∈N^*；
（2）①f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，b₁=1，f（b_n+1）=$\frac{1}{{f（-{b_n}-1）}}$．
可得（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{-1-{b}_{n}}}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{1+{b}_{n}}$，
即有b_n+1=b_n+1，可得{b_n}为首项和公差均为1的等差数列，
即有b_n=n；
②C_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，前n项和T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得，前n项和T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．