Question

【题目】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R.

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

Answer 1

【答案】(1) 当 时，<0，单调递减；当 时，>0，单调递增;(2) .

【解析】

试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对求导，再对a进行讨论，从而判断函数的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.

试题解析：（Ⅰ）

<0，在内单调递减.

由=0，有.

此时，当 时，<0，单调递减；

当 时，>0，单调递增.

（Ⅱ）令=，=.

则=.

而当时，>0，

所以在区间内单调递增.

又由=0，有>0，

从而当时，>0.

当，时，=.

故当>在区间内恒成立时，必有.

当时，>1.

由（Ⅰ）有,从而，

所以此时>在区间内不恒成立.

当时，令，

当时，，

因此，在区间单调递增.

又因为，所以当时，，即恒成立.

综上，.