Question

给出下列命题：
①函数y=f（x）的图象与函数y=f（x-2）+3的图象一定不会重合；
②函数y=log

1

2

（-x²+2x+3）的单调区间为（1，+∞）；
③

∫

0 -π

（cosx+e^x）dx=1-e^-π；
④双曲线的渐近线方程是y=±

3

4

x，则该双曲线的离心率是

5

4

．
其中正确命题的序号是

 

（把你认为正确命题的序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程,概率与统计

分析：①，令f（x）=

3

2

x，g（x）=f（x-2）+3，整理可得g（x）=f（x），可判断①；
②，先求函数y=log

1

2

（-x²+2x+3）的定义域，再确定其单调区间，可判断②；
③，利用微积分基本定理计算

∫

0 -π

（cosx+e^x）dx=1-e^-π，可判断③；
④，双曲线的渐近线方程是y=±

3

4

x，则y=±

b

a

x=±

3

4

x或y=±

a

b

x=±

3

4

x，从而可求得则该双曲线的离心率，可判断④．

解答： 解：对于①，令f（x）=

3

2

x，则g（x）=f（x-2）+3=

3

2

（x-2）+3=

3

2

x=f（x），此时函数y=f（x）的图象与函数y=f（x-2）+3的图象重合，故①错误；
对于②，由-x²+2x+3＞0得：-1＜x＜3，所以函数y=log

1

2

（-x²+2x+3）的单调减区间为（-1，1），增区间为（1，3），故②错误；
对于③，

∫

0 -π

（cosx+e^x）dx=（sinx+e^x）

|

0 -π

=1-e^-π，故③正确；
对于④，双曲线的渐近线方程是y=±

3

4

x，则该双曲线的离心率e=

42+33

4

=

5

4

或e=

42+33

3

=

5

3

，故④错误．
故答案为：③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查函数的平移变换、复合函数的单调性、微积分基本定理的应用及双曲线的几何性质，考查转化思想．