Question

(本小题满分14分)
已知椭圆的两个焦点，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于M，N两点，如果的周长等于8．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与椭圆交于不同两点P、Q，试问在轴上是否存在定点E（，0），使恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) ="1"  
(2) 时，为定值

解：（I）由题意知 = ，，（2分）∴ ， =1
∴椭圆的方程为="1"   （4分）
（II）当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为
  消去得     （6分）
设
则由韦达定理得       （7分）
则
∴=
=
=
=  （10分）
要使上式为定值须，解得   
∴为定值   （12分）当直线的斜率不存在时由
可得  
∴=综上所述当时，为定值   （14分）