Question

已知函数f（x）=x³+3ax-1，a为实常数．
（1）a在什么范围内时，y=f（x）与y=3只有一个公共点？
（2）若?(x)=|

f(x)+1

x2

|在[-2，0)∪(0，2]上有最小值2，求a的值．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+3a=3（x²+a）．
①当a≥0时，f′（x）≥0，所以f（x）在R上单调增，此时y=f（x）与y=3只有一个公共点；
②当时，f′(x)=3(x+

-a

)(x-

-a

)．由f'（x）=0，得x1=-

-a

，x2=

-a

．
在x∈R上列表：

x	（-∞，- -a ）	- -a	（- -a ， -a ）	-a	（ -a ，+∞）
f′（x）	+	0	─	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

因为y=f（x）与y=3只有一个公共点，所以f（x）_极大值＜3或f（x）_极小值＞3．
所以f(-

-a

)＜3，或f(

-a

)＞3，得-

3	4

＜a＜0．
综上，a＞-1，y=f（x）与y=3只有一个公共点．
（2）?(x)=|

f(x)+1

x2

|=|

x3+3ax-1+1

x2

|=|x+

3a

x

|．
由∅（-x）=∅（x），可知∅（x）为偶函数，则原题即为∅（x）在（0，2]上有最小值2．
设g(x)=x+

3a

x

（x∈（0，2]），则g′(x)=1-

3a

x2

=

x2-3a

x2

．
①a＜0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，2]上单调增，所以g(x)∈(-∞，2+

3a

2

]．
因为∅（x）在（0，2]上有最小值2，所以2+

3a

2

=-2，所以a=-

8

3

．
②a=0时，∅（x）=x，无最小值，不合题意．
③a＞0时，∅（x）=g（x），g′(x)=

x2-3a

x2

=

(x+ 3a )(x- 3a )

x2

．
（I）

3a

≥2，即a≥

4

3

时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，2]上单调减，所以g(x)∈[2+

3a

2

，+∞)，
此时∅（x）在（0，2]上的最小值为2+

3a

2

≠2，不合．
（II）

3a

＜2，即0＜a＜

4

3

时，由g'（x）=0，得x=

3a

．
在x∈（0，2]上列表：

x	（0， 3a ）	3a	（ 3a ，2）	2
g′（x）	─	0	+
g（x）	↘	极小值	↗	2+ 3a 2

∴φ(x)min=g(x)min=g(

3a

)=2

3a

=2，所以a=

1

3

．
综上，a的值为-

8

3

或

1

3

．