Question

设函数，其中，为正整数，、、均为常数，曲线在处的切线方程为.
（1）求、、的值；
（2）求函数的最大值；
（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）

Answer 1

（1），，；（2）；（3）详见解析.

解析试题分析：（1）利用点在切线上，求出的值，由切线方程求出切线的斜率，从而得到的值，再结合题干的条件列方程组求出、、的值；（2）利用导数求出极值，利用极值与最值的关系求出最大值；（3）证法1是利用分析法将问题等价转化为证明不等式，最后等价证明，利用换元法，构造新函数，只需证明不等式即可，利用导数，结合单调性进行证明；证法2是先构造新函数，证明在区间内成立，再令，得到，最终得到，再结合（2）中的结论得到.
试题解析：（1）由点在直线上，可得，即.  
，.
又切线的斜率为，，，，；
（2）由（1）知，，故.
令，解得，即在上有唯一零点.
当时，，故在上单调递增；
当时，，故在单调递减.
在上的最大值.
（3）证法1：要证对任意的都有，只需证，
由（2）知在上有最大值，，故只需证.
即，即，①
令，则，①即，②
令，则，
显然当时，，所以在上单调递增，
，即对任意的②恒成立，
对任意的