题目内容

函数f(x)当x＞0时有意义，且满足f(2)＝1,f(xy)＝f(x)＋f(y),f(x)在(0,＋∞)上是增函数．

(1)求证：f(1)＝0．

(2)求f(4)．

(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，求x的取值范围．

答案：
解析：

(1)由f(xy)＝f(x)＋f(y),令x＝2,y＝1，得f(2)＝f(2)＋f(1),∴f(1)＝0．

(2)令x＝y＝2,∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2．

(3)f(x)＋f(x－3)＝f(x(x－3)),且f(4)＝2,

∴f(x)＋f(x－3)≤2＝f(4)可化为f(x(x－3))≤f(4)．

依题有解得


练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x2+（k-2）x+2k-1
（1）若f（1）=16，函数g（x）是R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x），
（i）求实数k与g（0）的值；
（ii）当x＜0时，求g（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0的两根中，一根属于区间（0，1），另一根属于区间（1，2），求实数k的取值范围．
已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，
（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．
（3）若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减，求实数k的取值范围．
探究函数f（x）=x+
4
x
，x∈（0，+∞）的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
请观察表中值y随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f（x）=x+
4
x
（x＞0）在区间（0，2）上递减；
函数f（x）=x+
4
x
（x＞0）在区间
（2，0）
（2，0）
上递增．
当x=
2
2
时，y最小=
4
4
．
证明：函数f（x）=x+
4
x
（x＞0）在区间（0，2）递减．
思考：（直接回答结果，不需证明）
（1）函数f（x）=x+
4
x
（x＜0）有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，以及取相应最值时x的值．
（2）函数f（x）=ax+
b
x
，（a＜0，b＜0）在区间
[-
b
a
，0）
[-
b
a
，0）
 和
（0，
b
a
]
（0，
b
a
]
上单调递增．
（2013•潍坊一模）设函数f(x)=
1
3
mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx，其中a≠0．
（ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=
f(x)，x≤1
g(x)，x＞1
，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
（2012•吉安县模拟）已知函数f(x)=(1+
1x
)[1+ln(x+1)]，设g（x）=x2•f'（x）（x＞0）
（1）是否存在唯一实数a∈（m，m+1），使得g（a）=0，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明理由．
（2）当x＞0时，f（x）＞n恒成立，求正整数n的最大值．

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