Question

已知函数f（x）=x²+（k-2）x+2k-1
（1）若f（1）=16，函数g（x）是R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x），
（i）求实数k与g（0）的值；
（ii）当x＜0时，求g（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0的两根中，一根属于区间（0，1），另一根属于区间（1，2），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）（i）由于f（1）=16，可得1²+k-2+2k-1=16，解得即可．利用函数g（x）是R上的奇函数，可得g（-0）=-g（0），解出即可．
（ii）利用奇函数的性质g（-x）=-g（x）即可得出；
（2）由于方程f（x）=0的两根中，一根属于区间（0，1），另一根属于区间（1，2），可得

f(0)=2k-1＞0 f(1)=1+k-2+2k-1＜0 f(2)=4+2(k-2)+2k-1＞0

，解得即可．

解答：解：（1）（i）∵f（1）=16，∴1²+k-2+2k-1=16，化为3k=18，解得k=6．
∵函数g（x）是R上的奇函数，∴g（-0）=-g（0），解得g（0）=0．
（ii）由k=6可得f（x）=x²+4x+11．
设x＜0，则-x＞0．
∵当x＞0时g（x）=f（x）=x²+4x+11．
∴g（-x）=x²-4x+11．
∴g（x）=-g（-x）=-x²+4x-11．
（2）∵方程f（x）=0的两根中，一根属于区间（0，1），另一根属于区间（1，2），
∴

f(0)=2k-1＞0 f(1)=1+k-2+2k-1＜0 f(2)=4+2(k-2)+2k-1＞0

，解得

1

2

＜k＜

2

3

．
∴实数k的取值范围是(

1

2

，

2

3

)．

点评：本题考查了函数的奇偶性、二次函数的图象与性质、函数的零点等基础知识与基本方法，属于中档题．