Question

已知中心在原点O，焦点F₁、F₂在y轴上的椭圆E经过点C（2，2），且抛物线的焦点为F₂．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与x轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆E的方程，将点（2，2）代入，结合为抛物线的焦点为F₂，及a²=b²+c²，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程代入椭圆E方程，得3x²-2mx+m²-12=0，结合韦达定理及以AB为直径的圆P与x轴相切，即可求直线l的方程和圆P的方程．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为，…（1分）
则∵椭圆E经过点C（2，2），，…（2分）
因为抛物线的焦点为F₂，所以…（3分）
又a²=b²+c²得a²=12，b²=6…（4分）
所以椭圆E的方程为…（5分）
（Ⅱ）依题意，直线OC的斜率为1，由此设直线l的方程为y=-x+m…（6分）
代入椭圆E方程，得3x²-2mx+m²-12=0…（7分）
由△=4m²-12（m²-12）＞0，得m²＜18…（8分）
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
∴…（9分）
半径，解得m=±3，满足△＞0…（12分）
当m=3时，直线l的方程为y=-x+3，圆P的方程为（x-2）²+（y-1）²=4
当m=-3时，直线l的方程为y=-x-3，圆P的方程为（x+2）²+（y+1）²=4      …（14分）
点评：本题考查抛物线的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆，直线与圆的位置关系，正确运用韦达定理是关键．