题目内容
已知定义在（-∞，+∞）的函数f（x），对任意x∈R，恒有f（x+| π | 2 |
（1）求证：函数f（x）是周期函数，并求出它的最小正周期T；
（2）若函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，求出f（x）的解析式，写出它的对称轴方程．
分析：（1）由f（x+
）=-f（x），利用周期函数的概念可证得函数f（x）是周期函数，并求出它的最小正周期T；
（2）由图可求得ω，A，φ，从而可求得f（x）的解析式，并能求得它的对称轴方程．
| π |
| 2 |
（2）由图可求得ω，A，φ，从而可求得f（x）的解析式，并能求得它的对称轴方程．
解答：（1）证明：∵f（x+
）=-f（x），
∴f[（x+
）+
]=-f（x+
）=-[-f（x）]=f（x），…2分
∴f（x）是周期函数，它的最小正周期为π；…4分
（2）由（1）知f（x）的最小正周期为π，ω＞0，
∴
=π，
∴ω=2，…6分
由图象知，A=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），…8分
又2×
+φ=π，
∴φ=
，
∴f（x）=2sin（2x+
），…10分
由2x+
=kπ+
得：x=
+
（k∈Z），
∴它的对称轴方程为：x=
+
（k∈Z）…12分
| π |
| 2 |
∴f[（x+
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴f（x）是周期函数，它的最小正周期为π；…4分
（2）由（1）知f（x）的最小正周期为π，ω＞0，
∴
| 2π |
| ω |
∴ω=2，…6分
由图象知，A=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ），…8分
又2×
| π |
| 3 |
∴φ=
| π |
| 3 |
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
由2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
∴它的对称轴方程为：x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ是难点；考查函数的周期性，考查正弦函数的对称性，属于中档题．
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