题目内容

点P到点 $数学公式$ 及到直线 $数学公式$ 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：到A和到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等，则P点轨迹是抛物线方程，再注意B点，用上P到 $\text{[math]}$ 的距离和点P到B的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有△=0，从而可求a的值．
解答：法一由题意有点P在抛物线y²=2x上，设P（ $\text{[math]}$ ，y），则有（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ -a）²+（y-2）²，化简得（ $\text{[math]}$ -a）y²-4y+a²+ $\text{[math]}$ =0，当a= $\text{[math]}$ 时，符合题意；
当a≠ $\text{[math]}$ 时，△=0，有a³- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0，（a+ $\text{[math]}$ ）（a²-a+ $\text{[math]}$ ）=0，a=- $\text{[math]}$ ．故选D．
法二由题意有点P在抛物线y²=2x上，B在直线y=2上，当a=- $\text{[math]}$ 时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a= $\text{[math]}$ 时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D．
故选D．
点评：本题主要考查抛物线的概念、性质，以及数形结合的思想．法一代数法，法二是几何法．