Question

如图1所示，在边长为12的正方形中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB＝3，BC＝4，分别交BB₁，CC₁于点P、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC－A₁B₁C₁，请在图2中解决下列问题：

(1)求证：AB⊥PQ；

(2)在底边AC上有一点M，满足AM∶MC＝3∶4，求证：BM∥平面APQ．

(3)求直线BC与平面APQ所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)证明：因为，， 　　所以，从而， 　　即．2分 　　又因为，而， 　　所以平面，又平面 　　所以；4分 　　(2)解：过作交于，连接， 　　因为 　　　6分 　　，， 　　四边形为平行四边形 　　，所以平面　8分 　　(3)解：由图1知，，分别以为轴， 　　则 　　　10分 　　设平面的法向量为， 　　所以得， 　　令，则， 　　所以直线与平面所成角的正弦值为　12分 　　(注)用其他解法可相应给分．