Question

已知双曲线x²-3y²=3的右焦点为F，右准线为l，以F为左焦点，以l为左准线的椭圆C的中心为A，又A点关于直线y=2x的对称点A′恰好在双曲线的左准线上，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：根据题意可求得F的坐标，设出所求方程，根据离心率求得A的坐标的表达式，根据A与A’关于直线y=2x对称，表示出A′的坐标代入直线x=-

3

2

求得离心率e，进而求得椭圆的标准方程．

解答：解：依题意，F（2，0），l：x=

3

2

.
设所求方程为

(x-2)2+y2

|x- 3 2 |

=e，0＜e＜1，
即（1-e²）x²-（4-3e²）x+y²+4-

9

4

e2=0，
其中心为A(

4-3e2

2(1-e2)

，0).
∵A与A′关于直线y=2x对称，
∴A′的坐标为(-

3(4-3e2)

10(1-e2)

，

2(4-3e2)

5(1-e2)

)
又A′在直线x=-

3

2

上，∴-

3(4-e2)

10(1-e2)

=-

3

2

，解之得e2=

1

2

．
于是所求方程为：

1

2

x2-

5

2

x+y2+

23

8

=0，即

(x- 5 2 )2

1 2

+

y2

1 4

=1.

点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用，双曲线与圆的位置关系．考查了学生分析问题和和解决问题的能力．