Question

20．已知函数f（x）=lnx-ax-$\frac{1-a}{x}$，a≤$\frac{1}{2}$时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求导，利用二次求导，判断导函数的单调性，利用单调性判断导函数的正负，求得原函数的单调区间．

解答 解：f′（x）=-$\frac{a{x}^{2}-x-1+a}{{x}^{2}}$  x＞0
令h（x）=ax²-x-1+a
h′（x）=2ax-1
当a≤0时，h′（x）＜0
h（x）递减
∴h（x）＜h（0）=-1+a＜0
f′（x）＞0，f（x）递增
当0＜a≤$\frac{1}{2}$
当0＜x＜$\frac{1}{2a}$时，h′（x）＜0
h（x）递减
∴h（x）＜h（0）=-1+a＜0
f′（x）＞0，f（x）递增
当x＞$\frac{1}{2a}$时，h′（x）＞0
h（x）递增
令h（x）=0得x=$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$
当$\frac{1}{2a}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$时，h（x）＜0，
f′（x）＞0，f（x）递增
当x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$时，h（x）＞0，
f′（x）＜0，f（x）递减
故当0＜x$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$时，f（x）递增，当x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$时，f（x）递减

点评 考查了二次求导和求根公式的综合利用．