Question

（2010•淄博一模）在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，直l₁：ax+y+1=0与直线l₂：（b²+c²-bc）x+ay+4=0互相平行（其中a≠4）
（I）求角A的值，
（II）若B∈[

π

2

，

2π

3

)，求sin2

A+C

2

+cos2B的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用直线平行，推出a²=b²+c²-bc（a≠4），结合余弦定理，即可求角A的值，
（II）利用二倍角公式以及配方法化简sin2

A+C

2

+cos2B为二次函数的平方式，通过B∈[

π

2

，

2π

3

)推出cosB∈(-

1

2

，0]，然后求出表达式的取值范围．

解答：解：（I）l₁∥l₂，得a²=b²+c²-bc（a≠4）
即b²+c²-a²=bc…（2分）∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

∵A∈（0，π），∴A=

π

3

．…（5分）
（II）sin2

A+C

2

+cos2B=cos2

B

2

+2cos2B-1=

cosB+1

2

+2cos2B-1=2cos2B+

1

2

cosB-

1

2

=2(cosB+

1

8

)2-

17

32

…（8分）∵B∈[

π

2

，

2π

3

)，∴cosB∈(-

1

2

，0]…（9分）∴2(cosB+

1

8

)2-

17

32

∈[-

17

32

，-

1

4

)…（11分）
即sin2

A+C

2

+cos2B的取值范围为[-

17

32

，-

1

4

)…（12分）

点评：本题是中档题考查直线的平行条件的应用，余弦定理二倍角公式配方法求函数的最值，考查计算能力．