题目内容
（2010•淄博一模）设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=nan-2n（n-1）．
（Ⅰ）求数列数列{an}的通项公式an，
（Ⅱ）设数列{
}的前n项和为Tn，求证
≤Tn＜
．
（Ⅰ）求数列数列{an}的通项公式an，
（Ⅱ）设数列{
| 1 |
| anan+1 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
分析：（I）由Sn=nan-2n（n-1）结合通项和前n项和的关系，转化为an+1-an=4（n≥2）再由等差数列的定义求解，要注意分类讨论．
（II）利用裂项求和法求出Tn=
+…+
=
(1-
)＜
，又易知Tn单调递增，
则Tn≥T1=
，从而证得结论．
（II）利用裂项求和法求出Tn=
| 1 |
| a1a2 |
| 1 |
| anan+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4n+1 |
| 1 |
| 4 |
则Tn≥T1=
| 1 |
| 5 |
解答：解：（I）由Sn=nan-2n（n-1）
得an+1=Sn+1-Sn=（n+1）an+1-nan-4n
即an+1-an=4…（4分）∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列∴an=4n-3．…（6分）
（II）Tn=
+…+
=
+
+
+…+
=
(1-
+
-
+
-
+…+
-
)=
(1-
)＜
…（10分）
又易知Tn单调递增，
故Tn≥T1=
，
得
≤Tn＜
．…（12分）
得an+1=Sn+1-Sn=（n+1）an+1-nan-4n
即an+1-an=4…（4分）∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列∴an=4n-3．…（6分）
（II）Tn=
| 1 |
| a1a2 |
| 1 |
| anan+1 |
| 1 |
| 1×5 |
| 1 |
| 5×9 |
| 1 |
| 9×13 |
| 1 |
| (4n-3)×(4n+1) |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 13 |
| 1 |
| 4n-3 |
| 1 |
| 4n+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4n+1 |
| 1 |
| 4 |
又易知Tn单调递增，
故Tn≥T1=
| 1 |
| 5 |
得
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
点评：本题主要考查数列的转化与通项公式和求和方法，这里涉及了通项与前n项和之间的关系及裂项求和法，这是数列考查中常考常新的问题，要熟练掌握．
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