Question

在数列{a_n}中，已知．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）＜3．

Answer 1

【答案】分析：（1）将n=1代入可求出的a₂值，然后将n=2代入可求出a₃的值；
（2）将变形得，从而可知数列为等比数列，其首项为，公比为，从而求出数列的通项公式；
（3）当n≥2时，，从而可证得a₁（a₁-1）+a₂（a₂-1）+…+a_n（a_n-1）＜．
解答：解：（1）…（2分）
（2）由得：∵∴
所以数列为等比数列，其首项为，公比为…（6分）
所以即为数列的通项公式．…（9分）
（3）证明：
当n≥2时，=
所以原不等式成立．…（12分）
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及数列的递推关系，同时考查了计算能力，属于中档题．