Question

已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割成面积相等的两部分，则b的取值范围是

(1-

2

2

，

1

2

)

．

Answer 1

分析：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得b=

1

3

；②若点M在点O和点A之间，求得 b＜

1

2

；③若点M在点A的左侧，求得b＞1-

2

2

，综合起来可得结论．

解答：解：由题意可得，三角形ABC的面积为 S=

1

2

•AB•OC=1，

由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0可得点M在射线OA上．
设直线和BC的交点为 N，则由

y=ax+b x+y=1

，可得点N的坐标为（

1-b

a+1

，

a+b

a+1

），
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则-

b

a

=-1，且

a+b

a+1

=

1

2

，解得a=b=

1

3

，
②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于

1

2

，即

1

2

•MB•yN=

1

2

，
即

1

2

•（1+

b

a

）•

1-b

a+1

=

1

2

，解得a=

b2

1-2b

＞0，故b＜

1

2

，
③若点M在点A的左侧，则-

b

a

＜-1，b＞a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，
则由

y=ax+b y=x+1

求得点P的坐标为（

1-b

a-1

，

a-b

a-1

），
此时，NP=

( 1-b a+1 - 1-b a-1 )2+( a+b a+1 - a-b a-1 )2

=

[ -2(1-b) (a+1)(a-1) ]2+[ 2a(b-1) (a+1)(a-1) ]2

=

4(1+a2)(1-b)2 (a+1)2(a-1)2

=

2|1-b|

|(a+1)(a-1)|

1+a2

，
此时，点C（0，1）到直线y=ax+b的距离等于

|0-1+b|

1+a2

，
由题意可得，三角形CPN的面积等于

1

2

，即

1

2

•

2|1-b|

|(a+1)(a-1)|

1+a2

•

|0-1+b|

1+a2

=

1

2

，
化简可得2（1-b）²=|a²-1|．
由于此时 0＜b＜a＜1，∴2（1-b）²=|a²-1|=1-a² ．
两边开方可得

2

（1-b）=

1-a2

＜1，则1-b＜

1

2

，即b＞1-

2

2

，
综合以上可得，b=

1

3

可以，且b＜

1

2

，且b＞1-

2

2

，即b的取值范围是(1-

2

2

，

1

2

)，
故答案为：(1-

2

2

，

1

2

)．

点评：本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．